Zum Vergleich mit den zyklischen Formeln von J.M. Tendler, sollen auch noch
weitere Formeln angegeben werden, die entweder auf zyklischen Formeln,
Verfahren mit Ableitungen, oder blockimpliziten Formeln beruhen.
Sie haben die Eigenschaft, daß bei niedrigen Ordnungen ihre Koeffizienten
noch vergleichsweise klein sind und ganz sind.
Allerdings wurden diese hier vorgestellten Formeln noch nicht in einem
schlagkräftigen Programm eingebaut, wenn man einmal in gewissen Umfange von
den Formeln von W.H. Enright absieht.
Dies liegt z.T. darin, daß sich zu den günstigen Eigenschaften dieser
Formeln auch gewisse Nachteile hinzugesellt haben.
1. Die zyklischen Formeln von Donelson und Hansen
Aufgrund der numerischen Untersuchungen läßt sich vermuten, daß
kein Donelson-Hansensches $(k=3, M=2)$-zyklisches Verfahren
existiert, das in der ganzen linken Halbebene stabil ist.
Matija Mihelčić (1977)
Es seien nun noch die Formeln von Donelson/Hansen (1971)
angegeben
Da die Koeffizienten der Verfahren ganzzahlig und betragsmässig
vergleichsweise “klein” sind, eignen sie sich gut für Untersuchungs-
und Experimentierzwecke.
Die Verfahren sind nicht für steife Differentialgleichungen gedacht und
auch nicht geeignet.
Ohne Berücksichtigung eines Prädiktors haben die Verfahren einen sehr
kleinen Stabilitätsbereich,
siehe Mihelčić (1977) und Albrecht (1979).
1. Die beiden folgenden Verfahren benötigen $k=3$ Startwerte, konvergieren
jedoch mit der Ordnung $p=2k-1$, bzw. der Ordnung $p=2k$.
Hier ist bei beiden Verfahren das Äquilibrierungsmaß $\mu\approx p/2$.
Zum Zwecke der weiteren Referierung seien diese beiden Verfahren mit
DH1 und DH2 bezeichnet.
welche auf der Peripherie des Einheitskreises liegen.
DH2 ist damit nur schwach stabil.
2. Für die nächsten beiden Verfahren beträgt die Anzahl der
Startwerte $\kappa=3$,
die Verfahren konvergieren erneut jeweils mit der Ordnung $p=2\kappa-1$ und
der Ordnung $p=2\kappa$.
Dabei ist das linke Verfahren sogar lediglich zweistufig mit
$\mu\approx p/2$ und für das Verfahren 6.ter Ordnung ist $\mu\approx p+3$.
Die Verfahren seien im weiteren mit DH3 und DH4 bezeichnet.
und zwar für jede Stufe.
Das Äquilibrierungsmaß $\mu$ für den Prädiktor beträgt $\mu=72$.
Entgegen den Verfahren von J.M. Tendler liegt hier
ein anders Vorzeichenverhalten innerhalb der Stufen zugrunde.
Das nachfolgende Verfahren DH5 mit $\kappa=4$ Startwerten konvergiert mit
der Ordnung $p=2\kappa-1=7$.
Hierzu sind allerdings jetzt $4$ Stufen nötig.
Das Äquilibrierungsmaß $\mu$ beträgt hier ungefähr $\mu\approx p+2$.
Als Prädiktor für die beiden Verfahren DH5 und DH6 wird vorgeschlagen
Das letzte zyklische Verfahren DH6 mit $\kappa=4$ Startwerten konvergiert
mit der Ordnung $p=2\kappa-1=7$, nicht mit der Konvergenzordnung 8.
Das Äquilibrierungsmaß ist hier $\mu\approx p+2=9$.
Versehentlich wurde dieses Verfahren bei
Donelson III, John und Hansen, Eldon,
"Cyclic Composite Multistep Predictor-Corrector Methods",
SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol 8, 1971, pp.137—157
auch als Verfahren der Konvergenzordnung $p=8$ angegeben.
Allerdings erkennt man, daß die Henricische Fehlerkonstante sehr klein ist.
2. Die Fehlerfaktoren der Verfahren von Donelson und Hansen
Für die oben angegebenen zyklischen Formeln von Donelson III und Hansen
werden in unskalierter Form die Fehlerfaktoren aufgeführt.
Bei allen Verfahren haben immer alle Stufen die gleich hohe
Konsistenzordnung, außer bei dem Verfahren DH2, wo die erste Stufe eine
um eins höhere Konsistenzordnung besitzt.
In den nachstehenden Tabellen bezeichnet $p$ die Konvergenzordnung des
Gesamtzyklus und $q$ bezeichnet die Konsistenzordnung.
Es ist also $c_{q+1}\ne0$, aber $c_{q-i}=0$, für $i=0,\ldots,q$.
Somit
Bei den beiden Verfahren DH2 und DH3 ist die Bedingung der annullierten
Dominanz erfüllt.
Erneut ist somit $c_{q+1}$ die erste nichtverschwindende
Komponente des Matrix-Vektor-Produktes aus Konsistenzmatrix $C_{q+2,k+\ell}$
und den Koeffizienten $(\alpha,\beta)^\top$ des Verfahrens
skaliert mit der entsprechenden Fakultät $(q!)$.
$$
{}^{1)} \quad c_{16}=0, \hbox{ aber } c_{17}=-3/140
$$
Es folgen nun die Fehlerkonstanten der 6 zyklischen Formeln von Donelson und
Hansen, wobei stufenweise mit
dem führenden Koeffizienten $\alpha_{ii}$ skaliert wurde.
Die Werte sind auf sechs Stellen gerundet.
$$
^{1)}\quad c_{16}=0, \hbox{ aber } c_{17}=-3/140,
\hbox{ also } c_{17}/\alpha_{11}\approx0.001 948
$$
Die Fehlerkonstanten der zyklischen Verfahren, wobei stufenweise mit
$\sigma_i(1)$, für $i=1,\ldots,4$, skaliert wird, also stufenweise die
Fehlerkonstante von Henrici gebildet wird, lauten:
$$
{}^{1)} \quad c_{16}=0, \hbox{ aber } c_{17}=-3/140,
\hbox{ also } c_{17}/\sigma_1(1)\approx0.357 143E-3
$$
3. Mihelčić Verfahren der Ordnung 4
Schließlich sei auch noch das für steife Differentialgleichungen
geeignete zyklische Verfahren von
Mihelčić (1977) angegeben.
Im Gegensatz zu den Formeln von Tendler,
welche $p$ Startwerte benötigen zur Erreichung der Ordnung $p$,
genügen nun lediglich $p-1$, also hier 3 Startwerte.
Das Verfahren ist $A_\infty^{0.066}[21^\circ]$- und
$S_\infty^{0.066}[2.8]$-stabil, aber nicht $A_\infty^0[\alpha]$-
bzw. $S_\infty^0[\delta]$-stabil.
Das Äquilibrierungsmaß beträgt hier $\mu\approx p+2$.
also implizite Verfahren mit einem Vorkommen der zweiten Ableitung.
Die Koeffizienten $\beta,\ldots,\beta_k,\gamma_0$ seien nun so
bestimmt, daß das Verfahren die Konsistenzordnung $p=k+2$ hat.
Wayne Howard Enright (1974) gibt hier die folgenden Werte an:
2. Diese Formeln sind $A_\infty^r[\alpha]$- und $S_\infty^r[\delta]$-stabil,
dabei aber $r>0$ und $\alpha<90^\circ$ ist.
Die Implizitheit der Verfahren führt zu einem Gleichungssystem der Form
Lösung dieser Gleichung mit der Newton-Raphson Iteration ergäbe die
Iterationsmatrix $\widehat W$, die zudem noch von der Iterationsstufe
abhängig wäre, zu
Es wären also die $n^3$ zweiten Ableitungen
$\partial^2f_i/\partial y_\nu\partial y_k$ ($1\le i,k,\nu\le n$)
bereitzustellen.
Zur Vermeidung dieses Aufwandes setzt man diese $n^3$ Elemente sämtlich zu
Null in der Hoffnung, daß die Konvergenzeigenschaften nicht wesentlich
beeinträchtigt werden.
Man erhält die Iterationsmatrix bei der Newton-Kantorovich Iteration dann zu
$$
W = I - h\beta_0f_y - h^2\gamma_0(f_y)^2,
$$
Gefahr ist: Ändert sich $f_{yy}$ stark, so wird hiervon auch stark das
Verfahren beeinflußt.
Bei Differentialgleichungen, wo die $y$-Werte untereinander stark gekoppelt
sind, konnte man tatsächlich beobachten, daß Verfahren mit Ableitungen und
obiger Iterationsmatrix in ihrer Effizienz und Brauchbarkeit gemindert werden.
3. Ein weiteres Problem ist, daß $J=f_y$ dünn besetzt sein kann, aber $J^2$ nicht.
Eine mögliche Abhilfe ist, wenn man $W$ aufspaltet in
und dann komplexe Arithmetik anwendet.
Wählt man allerdings $\gamma_0=-(\beta_0/2)^2$, so wird $r$ reell, also
$$
W = I - h\beta_0J - (h\beta_0/2)^2J^2 = \left(I-h\beta_0J/2\right)^2.
$$
Dies führt zu neuen Formeln, welche noch die Konsistenzordnung $p=k+1$ haben
und ebenfalls $A_\infty^r[\alpha]$- und $S_\infty^r[\delta]$-stabil sind.
Diese werden hier dargestellt in der Form
William Benjamin Rubin (1973) stellte die folgenden
6 blockimpliziten 2-Schrittverfahren vor.
Kopie: RubinDiss1973.pdf.
Das Verfahren vierter Ordnung ist dabei von Harry M. Sloate zuerst
angegeben worden.
$A$-stabil mit Linkseigenvektoren $(7,3)$, $(-37,1863,0)$ und Henricischen
Fehlerkonstanten von $-1/90$, $-37/5985$ sind wie untenstehend.
Die beiden nachstehenden zusammengesetzten linearen Mehrschrittverfahren
von Sloate/Bickart (1973)
sind $A$-stabil, allerdings nicht $A_\infty^0$-stabil.
Das erste Verfahren BS1 erfüllt die Bedingung der annullierten Dominanz.
Die Linkseigenvektoren sind $(1,0)$, $(213,-5)$.
Das rechte Verfahren mit der Henricischen Fehlerkonstante $-1/90$ erfüllt
dabei die zwei Bedingungen: (1) die Nullstellen
von $\det(B_0+B_1\mu)=0$ haben gleichen Betrag (Null war bei Wahrung der
$A$-Stabilität nicht zu erreichen).
Dies erfüllt man durch die Forderung
(2) Die Quadratsumme der $\alpha$-Werte der ersten Stufe
$\alpha_{12}^2+\alpha_{11}^2+\alpha_{10}^2+\alpha_{1,-1}^2$ wurde in
Abhängigkeit von $\alpha_{11}$, und entsprechend wurde die Quadratsumme der
$\alpha$-Werte der zweiten Stufe in Abhängigkeit von $\alpha_{22}$ minimiert.
Dies könnte man als quasi-Gaußsches Äquilibrierungsmaß bezeichnen.
7. Blockimplizite Verfahren von Bickart/Picel
Die folgenden 9 blockimpliziten linearen Verfahren von
Bickart/Picel (1973) sind $A_\infty^0[\alpha]$-stabil.
Es ist immer $p=\ell$.
Die Linkseigenvektoren sind $v_2=(1,0)$, $v_3=(3,0,1)$, $v_4=(2,-1,2,0)$.
Die Henricischen Fehlerkonstanten sind $C_2^H=1/3$, $C_3^H=-3/8$,
$C_4^H=14/45$.
Die Linkseigenvektoren sind $v_5=(17,-14,24,-2,19/5)$,
$v_6=(11,-14,26,-14,11,0)$.
Die Henricischen Fehlerkonstanten sind $C_5^H=-95/288$, $C_6^H=41/140$.